Math173 | 最光阴-兰琦的数学之旅

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                  M a t h 1 7 3 | 最 光 阴 兰 琦 的 数 学 之 旅 M a t h 1 7 3 最 光 阴 兰 琦 的 数 学 之 旅 跳 至 正 文 首 页 每 日 一 题 解 题 展 示 方 法 技 巧 练 习 题 集 平 面 几 何 趣 味 数 学 自 招 竞 赛 错 在 哪 里 问 题 征 解 ← 早 期 文 章 每 日 一 题 [ 3 6 9 3 ] 递 推 与 构 造 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 2 4 日 由 意 琦 行 2 0 2 4 年 1 2 月 广 东 省 广 州 市 高 三 调 研 数 学 试 卷 # 1 9 在 正 整 数 $ 1 , 2 , \ \ c d o t s , n $ （ $ n \ \ g e q s l a n t 2 $ ） 的 任 意 一 个 排 列 $ A : a _ 1 , a _ 2 , \ \ c d o t s , a _ n $ 中 ， 对 于 任 意 $ i , j \ \ i n \ \ m a t h b b ^ $ ， $ i a _ j $ ， 则 称 $ ( a _ i , a _ j ) $ 是 一 个 逆 序 对 ． 记 排 列 $ A $ 中 顺 序 对 的 个 数 为 $ S ( A ) $ ， 逆 序 对 的 个 数 为 $ N ( A ) $ ． 例 如 对 于 排 列 $ A : 2 , 1 , 3 $ ， 有 $ S ( A ) = 2 $ ， $ N ( A ) = 1 $ ． 1 、 设 排 列 $ B : 2 , 4 , 1 , 3 $ 和 $ C : 5 , 3 , 1 , 4 , 2 $ ， 试 写 出 $ S ( B ) , N ( B ) , S ( C ) , N ( C ) $ 的 值 ． 2 、 对 于 正 整 数 $ 1 , 2 , \ \ c d o t s , n $ （ $ n \ \ g e q s l a n t 2 $ ） 的 所 有 排 列 $ A $ ， 求 满 足 $ S ( A ) = 2 $ 的 排 列 个 数 ； 3 、 如 果 把 排 列 $ A : a _ 1 , a _ 2 , \ \ c d o t s , a _ n $ 中 两 项 $ a _ i , a _ j $ （ $ i 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 组 合 证 明 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 9 2 ] 定 比 点 差 法 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 2 3 日 由 意 琦 行 2 0 2 4 年 1 2 月 广 东 省 广 州 市 高 三 调 研 数 学 试 卷 # 1 7 已 知 椭 圆 $ C : ~ \ \ d f r a c + \ \ d f r a c = 1 $ 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 $ F _ 1 , F _ 2 $ ， 离 心 率 为 $ \ \ d f r a c 2 $ ， 长 轴 长 与 短 轴 长 之 和 为 $ 6 $ ． 1 、 求 椭 圆 $ C $ 的 方 程 ； 2 、 已 知 $ M ( 1 , 0 ) , N ( 1 , 0 ) $ ， 点 $ P $ 为 椭 圆 $ C $ 上 一 点 ， 设 直 线 $ P M $ 与 椭 圆 $ C $ 的 另 一 个 交 点 为 点 $ B $ ， 直 线 $ P N $ 与 椭 圆 $ C $ 的 另 一 个 交 点 为 点 $ D $ ． 设 $ \ \ o v e r r i g h t a r r o w = \ \ l a m b d a _ 1 \ \ o v e r r i g h t a r r o w $ ， $ \ \ o v e r r i g h t a r r o w = \ \ l a m b d a _ 2 \ \ o v e r r i g h t a r r o w $ ． 求 证 ： 当 点 $ P $ 在 椭 圆 $ C $ 上 运 动 时 ， $ \ \ l a m b d a _ 1 + \ \ l a m b d a _ 2 $ 为 定 值 ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 解 析 几 何 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 9 1 ] 扭 一 扭 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 2 2 日 由 意 琦 行 2 0 2 4 年 1 2 月 广 东 省 广 州 市 高 三 调 研 数 学 试 卷 # 1 6 如 左 图 ， 在 棱 长 为 $ 2 $ 的 正 方 体 $ A B C D A _ 1 B _ 1 C _ 1 D _ 1 $ 中 ， $ Q _ 1 , Q _ 2 $ 分 别 为 正 方 形 $ A B C D , A _ 1 B _ 1 C _ 1 D _ 1 $ 的 中 心 ， 现 保 持 平 面 $ A B C D $ 不 动 ， 在 上 底 面 $ A _ 1 C _ 1 $ 内 将 正 方 形 $ A _ 1 B _ 1 C _ 1 D _ 1 $ 绕 点 $ Q _ 2 $ 逆 时 针 方 向 旋 转 $ 4 5 ^ $ ， 得 到 如 右 图 所 示 的 一 个 十 面 体 $ A B C D E F G H $ ． 1 、 证 明 ： $ E F \ \ p a r a l l e l ~ \ \ t e x t ~ A B C D $ ； 2 、 设 $ Q _ 1 Q _ 2 $ 的 中 点 为 $ O $ ， 求 点 $ O $ 到 平 面 $ D B E $ 的 距 离 ； 3 、 求 平 面 $ D B E $ 与 平 面 $ D B G $ 所 成 角 的 余 弦 值 ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 立 体 几 何 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 9 0 ] 映 射 与 对 应 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 2 1 日 由 意 琦 行 2 0 2 4 年 1 2 月 广 东 省 广 州 市 高 三 调 研 数 学 试 卷 # 1 4 随 机 将 $ 1 , 2 , \ \ c d o t s , 2 n $ （ $ n \ \ i n \ \ m a t h b b ^ $ ， $ n \ \ g e q s l a n t 2 $ ） 这 $ 2 n $ 个 连 续 正 整 数 分 成 $ A , B $ 两 组 ， 每 组 $ n $ 个 数 ， $ A $ 组 最 大 数 为 $ a $ ， $ B $ 组 最 大 数 为 $ b $ ， 记 $ \ \ x i = | a b | $ ． 当 $ n = 3 $ 时 ， $ \ \ x i $ 的 数 学 期 望 $ E ( \ \ x i ) = $ _ _ _ _ _ ； 若 对 任 意 $ n \ \ g e q s l a n t 2 $ ， $ E ( \ \ x i ) 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 组 合 计 数 | 一 条 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 8 9 ] 一 支 穿 云 箭 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 2 0 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 # 1 6 已 知 $ a \ \ i n \ \ m a t h b b $ ， 关 于 $ x $ 的 不 等 式 $ \ \ l e f t ( \ \ t a n \ \ d f r a c a \ \ r i g h t ) \ \ l e f t ( \ \ t a n \ \ d f r a c a 1 \ \ r i g h t ) A ． $ 0 $ B ． $ 3 3 8 $ C ． $ 6 7 4 $ D ． $ 1 0 1 2 $ 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 函 数 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 8 8 ] 函 数 与 方 程 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 1 9 日 由 意 琦 行 2 0 2 4 年 1 2 月 广 东 省 广 州 市 高 三 调 研 数 学 试 卷 # 1 1 设 直 线 $ y = t $ 与 函 数 $ f ( x ) = x ( x 3 ) ^ 2 $ 图 象 的 三 个 交 点 分 别 为 $ A ( a , t ) , B ( b , t ) , C ( c , t ) $ ， 且 $ a A ． $ f ( x ) $ 图 象 的 对 称 中 心 为 $ ( 2 , 2 ) $ B ． $ a b c $ 的 取 值 范 围 为 $ ( 0 , 1 2 ) $ C ． $ a c $ 的 取 值 范 围 为 $ ( 0 , 4 ) $ D ． $ c a $ 的 取 值 范 围 为 $ \ \ l e f t ( 3 , 2 \ \ s q r t \ \ r i g h t ] $ 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 函 数 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 8 7 ] 借 尸 还 魂 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 1 8 日 由 意 琦 行 2 0 2 5 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 # 1 2 在 平 面 中 ， $ \ \ b o l d s y m b o l _ 1 $ 和 $ \ \ b o l d s y m b o l _ 2 $ 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 向 量 $ \ \ b o l d s y m b o l $ 满 足 $ \ \ l e f t | \ \ b o l d s y m b o l 4 \ \ b o l d s y m b o l \ \ r i g h t | = 2 $ ， 向 量 $ \ \ b o l d s y m b o l $ 满 足 $ \ \ l e f t | \ \ b o l d s y m b o l 6 \ \ b o l d s y m b o l \ \ r i g h t | = 1 $ ， 则 $ \ \ b o l d s y m b o l $ 在 $ \ \ b o l d s y m b o l $ 方 向 上 的 投 影 数 量 的 最 大 值 是 _ _ _ _ _ ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 直 线 与 圆 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 8 6 ] 错 位 与 排 序 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 1 7 日 由 意 琦 行 已 知 实 数 $ a _ 1 , a _ 2 , \ \ c d o t s , a _ n > 0 $ ， 证 明 ： \ \ [ \ \ s u m _ ^ n \ \ d f r a c } \ \ g e q s l a n t \ \ s u m _ ^ n \ \ d f r a c + a _ i + 1 } + 1 } , \ \ ] 其 中 $ a _ 0 = a _ n $ ， $ a _ = a _ 1 $ ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 代 数 不 等 式 | 留 下 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 8 5 ] 环 染 色 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 1 6 日 由 意 琦 行 2 0 2 3 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 北 京 市 预 赛 # 1 2 现 有 $ 1 1 $ 位 同 学 报 名 博 物 馆 的 志 愿 讲 解 活 动 ， 活 动 从 上 午 $ 9 $ 点 开 始 到 下 午 $ 5 $ 点 结 束 ， 每 小 时 安 排 一 场 公 益 小 讲 堂 ， 每 场 需 要 $ 1 $ 位 同 学 为 参 观 的 游 客 提 供 讲 解 服 务 ． 为 避 免 同 学 们 劳 累 ， 馆 方 在 排 班 时 不 会 让 同 一 人 连 续 讲 解 $ 2 $ 场 ， 并 且 第 一 场 与 最 后 一 场 需 要 两 位 不 同 的 同 学 负 责 ， 则 馆 方 共 有 _ _ _ _ _ 种 排 班 方 式 ． 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 组 合 计 数 | 2 条 评 论 每 日 一 题 [ 3 6 8 4 ] 步 步 维 艰 发 表 于 2 0 2 5 年 2 月 1 5 日 由 意 琦 行 2 0 2 3 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 北 京 市 预 赛 # 1 1 已 知 $ a , b $ 为 正 整 数 ， $ a 继 续 阅 读 → 发 表 在 每 日 一 题 | 标 签 为 数 论 | 留 下 评 论 ← 早 期 文 章 2 0 2 5 年 2 月 一 二 三 四 五 六 日   1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8   « 1 月     搜 索 ： 标 签 三 角 三 角 函 数 不 等 式 二 次 函 数 代 数 不 等 式 代 数 变 形 代 数 式 最 值 几 何 函 数 函 数 方 程 创 新 大 题 创 新 小 题 参 数 方 程 双 曲 线 向 量 圆 锥 曲 线 复 数 导 数 平 面 几 何 平 面 几 何 计 算 平 面 向 量 抛 物 线 数 列 数 列 不 等 式 数 列 与 不 等 式 数 形 结 合 数 论 椭 圆 概 率 直 线 与 圆 空 间 向 量 立 体 几 何 级 数 组 合 数 学 组 合 极 值 组 合 计 数 组 合 证 明 规 划 解 三 角 形 解 析 几 何 计 数 论 证 与 构 造 递 推 集 合 高 斯 函 数 近 期 文 章 每 日 一 题 [ 3 6 9 3 ] 递 推 与 构 造 每 日 一 题 [ 3 6 9 2 ] 定 比 点 差 法 每 日 一 题 [ 3 6 9 1 ] 扭 一 扭 每 日 一 题 [ 3 6 9 0 ] 映 射 与 对 应 每 日 一 题 [ 3 6 8 9 ] 一 支 穿 云 箭 2 0 2 5 年 2 月 一 二 三 四 五 六 日   1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8   « 1 月     搜 索 ： 标 签 三 角 三 角 函 数 不 等 式 二 次 函 数 代 数 不 等 式 代 数 变 形 代 数 式 最 值 几 何 函 数 函 数 方 程 创 新 大 题 创 新 小 题 参 数 方 程 双 曲 线 向 量 圆 锥 曲 线 复 数 导 数 平 面 几 何 平 面 几 何 计 算 平 面 向 量 抛 物 线 数 列 数 列 不 等 式 数 列 与 不 等 式 数 形 结 合 数 论 椭 圆 概 率 直 线 与 圆 空 间 向 量 立 体 几 何 级 数 组 合 数 学 组 合 极 值 组 合 计 数 组 合 证 明 规 划 解 三 角 形 解 析 几 何 计 数 论 证 与 构 造 递 推 集 合 高 斯 函 数 近 期 文 章 每 日 一 题 [ 3 6 9 3 ] 递 推 与 构 造 每 日 一 题 [ 3 6 9 2 ] 定 比 点 差 法 每 日 一 题 [ 3 6 9 1 ] 扭 一 扭 每 日 一 题 [ 3 6 9 0 ] 映 射 与 对 应 每 日 一 题 [ 3 6 8 9 ] 一 支 穿 云 箭 近 期 评 论 J i a n d e r 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 2 7 ] 交 错 前 行 》 S h y o u _ i n _ c o l l e g e 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 9 0 ] 映 射 与 对 应 》 意 琦 行 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 7 9 ] 集 合 分 划 》 意 琦 行 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 8 5 ] 环 染 色 》 S h y o u _ i n _ c o l l e g e 发 表 在 《 每 日 一 题 [ 3 6 8 5 ] 环 染 色 》 其 他 操 作 注 册 登 录 条 目 f e e d 评 论 f e e d W o r d P r e s s . o r g 京 I C P 备 1 4 0 5 1 3 1 3 号 1 M a t h 1 7 3 京 I C P 备 1 4 0 5 1 3 1 3 号 1 自 豪 地 采 用 W o r d P r e s s 。

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